y=arctanx的導數(shù)是什么?

回答

瑞文問答

2024-09-21

arctanx的導數(shù)：y=arctanx，x=tany，dx/dy=secy=tany+1，dy/dx=1/(dx/dy)=1/(tany+1)=1/(1+x)。

擴展資料

　　反函數(shù)求導法則

　　如果函數(shù)x=f(y)x=f(y)在區(qū)間IyIy內單調、可導且f′(y)≠0f′(y)≠0，那么它的反函數(shù)y=f1(x)y=f1(x)在區(qū)間Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}內也可導，且

　　[f1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

　　這個結論可以簡單表達為：反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)。

　　例：設x=siny，y∈[π2,π2]x=siny，y∈[π2,π2]為直接導數(shù)，則y=arcsinxy=arcsinx是它的反函數(shù)，求反函數(shù)的導數(shù).

　　解：函數(shù)x=sinyx=siny在區(qū)間內單調可導，f′(y)=cosy≠0f′(y)=cosy≠0

　　因此，由公式得

　　(arcsinx)′=1(siny)′

　　=1cosy=11sin2y√=11x2√

　　=1cosy=11sin2y=11x2