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兩個重要極限公式 作用是什么

回答
瑞文問答

2024-09-17

第一個重要極限的公式:lim sinx/x=1(x->0)當x→0時,sin/x的極限等于1。
特別注意的是x→∞時,1/x是無窮小,根據(jù)無窮小的性質(zhì)得到的極限是0。
第二個重要極限的公式:lim(1+1/x)^x=e(x→∞)當x→∞時,(1+1/x)^x的極限等于e;

擴展資料

  或當x→0時,(1+x)^(1/x)的極限等于e。

  兩個重要極限公式作用

  (1)sinx/x的極限,在中國國內(nèi)的教學(xué)環(huán)境中,經(jīng)常被歪解成等價無窮小。而在國際的微積分教學(xué)中,依舊是中規(guī)中矩,沒有像國內(nèi)這么瘋狂炒作等價無窮小代換。sinx經(jīng)過麥克勞林級數(shù)展開后,x是最低價的無窮小,sinx跟x只有在比值時,當x趨向于0時,極限才是1。用我們一貫的,并不是十分妥當?shù)恼f法,是“以直代曲”。

  這一特性在計算、推導(dǎo)其他極限公式、導(dǎo)數(shù)公式、積分公式時,會反反復(fù)復(fù)地用到。sinx、x、tanx也給夾擠定理提供了最原始的實例,也給復(fù)變函數(shù)中sinx/x的定積分提供形象理解。

  (2)關(guān)于e的重要性,更是登峰造極。表面上它起了兩個作用:

  A、一個上升、有階級數(shù),跟一個下降的有階級數(shù),具有一個共同極限;

  B、破滅了我們原來的一些固有概念:

  大于1的數(shù)開無限次冪的結(jié)果會越來越小,直到1為止;小于1的正數(shù)開無限次冪的結(jié)果會越來越大,直到1為止。

  整體而言,e的重要極限,有這么幾個意義:

  A、將代數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù),整合為一個整體理論,再結(jié)合復(fù)數(shù)理論,它們成為一個嚴密的互通互化互補的、相輔相成、交相印證的完整理論體系.

  B、使得整個微積分理論,包括微分方程理論,簡潔明了。沒有了e^x這一函數(shù),就沒有了lnx,也就沒有一切理論,所有的公式將十分復(fù)雜。

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