例3及“做一做”
例3要求出小強(qiáng)獲勝的可能性是多大，首先應(yīng)找出小麗和小強(qiáng)玩“石頭、剪子、布”的所有可能的結(jié)果。
從表中可見，一共有9種可能的結(jié)果，因?yàn)槊咳顺鍪^、剪子、布的可能性都相同，所以上述9種結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，均為 。其中小強(qiáng)獲勝的結(jié)果有3種，小麗獲勝的結(jié)果有3種，平的結(jié)果也有3種，故小強(qiáng)獲勝的可能性是3× = ，同理，小麗獲勝的可能性也是 ，所以用“石頭、剪子、布”來決定誰跳是公平的。
為了不重復(fù)、不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，教學(xué)時(shí)可讓學(xué)生結(jié)合以前學(xué)的排列組合知識(shí)進(jìn)行思考。在找出游戲的所有可能結(jié)果后，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等。
做一做。
為了求擺出的三位數(shù)是單數(shù)的可能性，首先應(yīng)羅列出3，5，6這三張卡片能夠擺出的所有三位數(shù)， 6個(gè)三位數(shù)中單數(shù)有4個(gè)，雙數(shù)有兩個(gè)，所以擺出的三位數(shù)是單數(shù)的可能性是 ，是雙數(shù)的可能性是 。教學(xué)時(shí)，應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生利用以前學(xué)習(xí)的排列組合方法，以保證在羅列時(shí)做到不重復(fù)不遺漏。
除了列舉法，也可根據(jù)單數(shù)和雙數(shù)的特性來分析問題。判斷一個(gè)數(shù)是單數(shù)還是雙數(shù)主要看這個(gè)數(shù)的個(gè)位，若個(gè)位上的數(shù)字是單數(shù)，則該數(shù)就是單數(shù)，反之，則說明該數(shù)是雙數(shù)。現(xiàn)在來看3，5，6這3個(gè)數(shù)字，3，5都是單數(shù)，只有6是雙數(shù)，所以當(dāng)3或5都放在個(gè)位時(shí)，組成的三位數(shù)就是單數(shù)，只有當(dāng)6放在個(gè)位時(shí)，組成的三位數(shù)才是雙數(shù)，因而擺出的三位數(shù)是單數(shù)的可能性是 ，是雙數(shù)的可能性是 。
由以上的分析可以看出，這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)猜“擺出的三位數(shù)是雙數(shù)”的一方不利，所以游戲不公平。
練習(xí)二十二
第1題，從4張數(shù)字卡片中任意抽取兩張，這是一個(gè)組合問題，共有 種，分別是：①2，3；②2，7；③2，8；④3，7；⑤3，8；⑥7，8。其中第一種和第五種情況下兩數(shù)的乘積既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)，所以可排除，即有效的組合有4種。在這4種組合中，乘積是2的倍數(shù)的有3種（2，7；2，8；7，8），乘積是3的倍數(shù)的有1種（3，7），所以這個(gè)玩法不公平。
根據(jù)已有的規(guī)則，為了使游戲公平，則必須換掉卡片2或卡片8，并且新加的數(shù)字卡片應(yīng)滿足如下條件：該數(shù)字是不能被3整除的奇數(shù)，如5，11等。教學(xué)時(shí)，應(yīng)注意說明當(dāng)兩個(gè)數(shù)的乘積既不能被2整除又不能被3整除時(shí)，也要重來。
第2題，投擲一粒骰子，朝上的數(shù)字有6種可能的結(jié)果，根據(jù)乘法原理，同時(shí)擲兩粒骰子時(shí)，則可能出現(xiàn)的結(jié)果共有6×6=36種，并且這36種結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，均為 。與此對(duì)應(yīng)，36種情況下兩個(gè)數(shù)字的和的分布情況如下表陰影部分所示：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
從表中可見，和是單數(shù)的結(jié)果有18種，所以和是單數(shù)的可能性是 ，同理，和是雙數(shù)的可能性也是 ，故這個(gè)游戲?qū)﹄p方是公平的。
第3題，本題是開放的，學(xué)生可根據(jù)自己的生活實(shí)際，從熟悉的游戲、活動(dòng)中尋找題材，先探究這些游戲、活動(dòng)的規(guī)則是否對(duì)比賽各方都公平，如果不公平，則根據(jù)等可能性思想，對(duì)游戲的規(guī)則進(jìn)行矯正，或重新制定，直到使其滿足公平性。
2．理解，會(huì)求數(shù)據(jù)的中位數(shù)；了解中位數(shù)與平均數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別，會(huì)根據(jù)數(shù)據(jù)的具體情況合理選擇統(tǒng)計(jì)量。
例4
通過解決“用什么數(shù)表示第3組同學(xué)的擲沙包水平比較合適”這一問題，引出了中位數(shù)的概念。在第一學(xué)段，學(xué)生已知道用平均數(shù)來描述一組數(shù)據(jù)的總體情況比較方便和適用，但平均數(shù)與一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都有直接的關(guān)系，任意一個(gè)數(shù)據(jù)大小的變化都會(huì)對(duì)平均數(shù)值產(chǎn)生影響，從而很自然地引入中位數(shù)的概念。
教學(xué)時(shí)，應(yīng)把握好以下幾個(gè)層次：一是引入中位數(shù)的必要性；二是定義中位數(shù)的概念時(shí)，要突出中位數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義；三是闡明中位數(shù)與平均數(shù)各自的特點(diǎn)和適用范圍。
教學(xué)時(shí)應(yīng)把中位數(shù)特點(diǎn)講清楚，讓學(xué)生明白：把一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，最中間的數(shù)據(jù)就是中位數(shù)，它的優(yōu)點(diǎn)是不受偏大或偏小數(shù)據(jù)的影響。如在本例中，因?yàn)橛袃蓚�(gè)特同學(xué)的成績(jī)太高，嚴(yán)重偏離了大多數(shù)同學(xué)的水平，這時(shí)用中位數(shù)來表示第3組同學(xué)擲沙包的一般水平就比較合適。另外，計(jì)算中位數(shù)前首先應(yīng)將該組數(shù)據(jù)按照大小順序進(jìn)行排列，再找出處于最中間位置的數(shù)據(jù)。
最后，教師可適當(dāng)小結(jié)一下，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到平均數(shù)與中位數(shù)都是反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量，但針對(duì)具體的一組數(shù)據(jù)來說，則應(yīng)根據(jù)數(shù)據(jù)組中各個(gè)數(shù)據(jù)的分布情況，合理選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量。如當(dāng)一組數(shù)據(jù)中某些數(shù)據(jù)嚴(yán)重偏大或偏小時(shí)，就最好選用中位數(shù)來表示該組數(shù)據(jù)的一般水平。
例5
設(shè)計(jì)本例的目的是使學(xué)生進(jìn)一步理解中位數(shù)的概念，掌握求中位數(shù)的方法，另外更重要的一點(diǎn)是讓學(xué)生體會(huì)中位數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)上的作用。
本例呈現(xiàn)了幾名男生的跳遠(yuǎn)成績(jī)，并從平均數(shù)和中位數(shù)兩個(gè)角度對(duì)該數(shù)據(jù)組進(jìn)行了分析，結(jié)果表明用中位數(shù)代表這組成績(jī)的一般水平更合適。針對(duì)給定的一組數(shù)據(jù)，判斷某個(gè)統(tǒng)計(jì)量?jī)?yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)就是該統(tǒng)計(jì)量是否包含了數(shù)據(jù)組足夠多的信息量，是否很好地反映了該組數(shù)據(jù)的大部分特征，也即該統(tǒng)計(jì)量蘊(yùn)涵了更多的有關(guān)該組數(shù)據(jù)的信息。對(duì)例5而言，7名男生跳遠(yuǎn)成績(jī)的平均數(shù)是2.96，中位數(shù)是2.89，分析發(fā)現(xiàn)有5名男生的成績(jī)都低于平均值，從而說明在這里用平均數(shù)來代表該組成績(jī)不太合適，應(yīng)選用中位數(shù)。為讓學(xué)生更完整地掌握求給定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)的方法，在本例最后，有意將原數(shù)據(jù)組的7個(gè)數(shù)據(jù)變成了8個(gè)，以向?qū)W生介紹當(dāng)一組數(shù)據(jù)有偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)中位數(shù)的求法。
教學(xué)時(shí)可讓學(xué)生通過小組討論的形式來分析平均數(shù)和中位數(shù)的特點(diǎn)，并引導(dǎo)他們結(jié)合本例的實(shí)際情況，以做出合理的選擇。
練習(xí)二十三
第1題，教學(xué)時(shí)，可以先讓學(xué)生根據(jù)7名同學(xué)的成績(jī)估一估他們跳繩的一般水平大約應(yīng)是多少，然后再分別計(jì)算出平均數(shù)和中位數(shù)，比較后再選擇合適的統(tǒng)計(jì)量。
第2題，本題的編寫意圖有兩點(diǎn)：一是使學(xué)生認(rèn)識(shí)到當(dāng)一組數(shù)據(jù)中沒有特別偏大或偏小的數(shù)據(jù)時(shí)，平均數(shù)和中位數(shù)這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量都能較好地反映該組數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征；二是讓學(xué)生初步理解中位數(shù)與平均數(shù)的大小關(guān)系：當(dāng)一組數(shù)據(jù)中所有比中位數(shù)小的數(shù)與中位數(shù)之差的和小于所有比中位數(shù)大的數(shù)與中位數(shù)之差的和時(shí)，中位數(shù)就比平均數(shù)小，反之中位數(shù)就比平均數(shù)大。
第3題，通過展示兩個(gè)公司職工工資情況統(tǒng)計(jì)表，說明在生活中要特別警惕平均數(shù)的誤用，要看清在平均數(shù)掩蓋下的事實(shí)真相，以幫助我們?cè)谏钪凶鞒隹茖W(xué)合理的選擇。
普通職員在公司里占絕大多數(shù)，所以他們的工資更能代表公司職工工資的一般水平，這實(shí)際上也是工資統(tǒng)計(jì)表里的中位數(shù)，從而也與前面學(xué)習(xí)的用“中位數(shù)代表全體數(shù)據(jù)的一般水平更合適”相一致。用平均工資來反映該公司職工工資的一般水平并不合適。
如果爸爸想應(yīng)聘公司的員工，從工資水平的角度考慮應(yīng)該選擇甲公司，因?yàn)榧坠酒胀殕T的工資是1200元，高于乙公司的1100元。
第4題，這是一道實(shí)踐活動(dòng)題，同時(shí)又是一道開放題，可讓學(xué)生小組合作開展調(diào)查活動(dòng)。首先是確定需要調(diào)查的內(nèi)容，如調(diào)查本班同學(xué)視力情況，調(diào)查一個(gè)年級(jí)學(xué)生的身高、體重等，并制定好相應(yīng)的調(diào)查計(jì)劃，作好統(tǒng)計(jì)表，然后在全班（全年級(jí)或全校）的同學(xué)中進(jìn)行調(diào)查。調(diào)查后把結(jié)果反映在設(shè)計(jì)好的統(tǒng)計(jì)表里，由此求出所收集數(shù)據(jù)的中位數(shù)，特別應(yīng)讓學(xué)生說說中位數(shù)的意義。例如在視力情況的調(diào)查中，如果中位數(shù)顯示的視力結(jié)果是沒有近視，則說明全班同學(xué)有一半以上都沒有近視，反之則說明全班同學(xué)患近視的人數(shù)超過了一半。
五、教學(xué)建議
1．注重學(xué)生對(duì)等可能性思想的理解，淡化純概率數(shù)值的計(jì)算。
在自然界和人類社會(huì)中存在兩類不同的現(xiàn)象：確定性現(xiàn)象（即必然事件和不可能事件）和隨機(jī)現(xiàn)象（即不確定事件）。概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性的數(shù)學(xué)分支。在小學(xué)階段設(shè)置簡(jiǎn)單的“概率”內(nèi)容，主要是為了培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)思維，讓其學(xué)會(huì)用概率的眼光去觀察大千世界，而不僅僅是以確定的、一成不變的思維方式去理解事物。因此，在可能性知識(shí)的教學(xué)中，應(yīng)注意加強(qiáng)對(duì)學(xué)生概率素養(yǎng)的培養(yǎng)，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)隨機(jī)思想的理解，而不要把豐富多彩的可能性內(nèi)容變成了機(jī)械的計(jì)算和練習(xí)。
2. 加強(qiáng)學(xué)生對(duì)中位數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上的理解。
中位數(shù)和平均數(shù)一樣，也是反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。教學(xué)時(shí)應(yīng)注意結(jié)合學(xué)生已經(jīng)很熟悉的平均數(shù)，對(duì)比教學(xué)，以幫助學(xué)生厘清兩者的聯(lián)系和區(qū)別，使他們明白：平均數(shù)主要反映一組數(shù)據(jù)的總體水平，中位數(shù)則更好地反映了一組數(shù)據(jù)的中等水平（或一般水平）。
在教學(xué)中，教師應(yīng)選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)組，以反映中位數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)上的意義和價(jià)值，在與平均數(shù)的對(duì)比中體現(xiàn)中位數(shù)的特點(diǎn)。如例4、例5的數(shù)據(jù)組中，因個(gè)別數(shù)據(jù)嚴(yán)重偏大，影響到平均數(shù)也偏大，導(dǎo)致平均數(shù)不能很好地代表該組數(shù)據(jù)的總體水平，而中位數(shù)的優(yōu)勢(shì)正好能夠避免一些偏大或偏小數(shù)據(jù)的影響，因而在這樣的場(chǎng)合中，中位數(shù)就能很好地反映一組數(shù)據(jù)的一般水平。
3. 加強(qiáng)動(dòng)手操作，提供自主探索的空間。可以結(jié)合學(xué)生熟悉的游戲、活動(dòng)（如擲硬幣、玩轉(zhuǎn)盤、摸卡片等），讓學(xué)生親自動(dòng)手試驗(yàn)，在試驗(yàn)中直觀體驗(yàn)事件發(fā)生的可能性，探究游戲規(guī)則的公平性與等可能性事件的關(guān)系等，使其經(jīng)歷知識(shí)的形成過程。